WisFaq!

Toepassing van de Theorie van Hahn-Banach

Hallo wisfaq,

Ik heb enkele vragen over het bewijs van een van de gevolgen van de theorie van Hanhn-Banach:

Laat E een genormeerde ruimte zijn, laat G een gesloten lineaire deelruimte van E zijn, en laat y een punt van E zijn dat niet in G zit.Laat d=inf{||y-x|| : x in G}.Dan bestaat er een element f'in E'zodat ||f'||=1, f'(y)=d, en f'(x)=0 voor alle x in G.
Bewijs
Zij V={x+k*y : x in G, k in K}, laat f(y)=d, f(x)=0 voor alle x in G, en definieer f op alle andere punten van V door lineariteit.

Als we hebben laten zien dat de norm van f op V gelijk is aan 1, dan kunnen we voor f' een willekeurig element van E'nemen wiens restrictie tot V f is en wiens norm 1 is.
vraag1.Dit is de kern van het bewijs denk ik, maar ik begrijp het hele idee niet.

||f||=sup{|f(v)|*||v||^-1 : v in V, v niet 0}
=sup{|f(ky-x)|*||ky-x||^-1}
=sup{|k|*d*||ky-x||^-1 : x in G, k in K}
=sup{d*||y-x||^-1 : x in G}
=d/[inf{||y-x|| : x in G}]
=d/d=1

vraag2.Ik begrijp niet waarom
||f||=sup{|f(v)|*||v||^-1 : v in V, v niet 0}
en ook niet waarom
sup{d*||y-x||^-1 : x in G}=d/[inf{||y-x|| : x in G}]

vraag3.Wat kan er nu geconcludeerd worden?

Groeten,

Viky

viky
2-8-2006

Antwoord

Om te beginnen met 2: de definitie van de norm van een functionaal is sup{|f(x)| : x in V en ||x||=1}; dit is gelijk aan rechterlid uit 2; noem het linkerlid even |f|₂. In het rechterlid staan tenminste zoveel getallen als in de definitie, dus |f|||f||, maar in het rechterlid staan niet meer getallen dan in de definitie: als v ongelijk 0 is bekijk dan x=¹/_||v||v; dan is F(x) gelijk aan f(v)/||v||.
Verder: als A een verzameling positieve getallen is dan geldt sup{1/a:a in A}=1/inf A; pas de definities toe (en de continuiteit van de functie t-1/t.

De berekening in 1 is verder goed.

Je hebt nu een functionaal f op V die voldoet aan |f(v)|||v|| voor alle v in V; pas nu Hahn-Banach toe op V, f en de norm van E. Dat geeft een functionaal g op E die f uitbreidt en die voldoet aan |g(x)|||x|| voor alle x in E; dus ||g||1. Maar omdat ||f||=1, volgt ook dat ||g||=1.

kphart
3-8-2006