WisFaq!

Re: Betekenis elementen uit een functie

Als ik jou goed begrijp, dan is

f(t,y(t))

hetzelfde als f(t,y), maar y(t) is een functie, en y alleen een veriabele. In de voorbeelden die jij geeft is y alleen een veriabele, en geen functie zoals in f(t,y(t)).

P.s: Wat betreft het integreren heb je natuurlijk helemaal gelijk, had ik makkelijk moeten weten. Ik raak nog altijd in de war van dx, wat gewoon Dx is.

Rens
1-8-2006

Antwoord

Dat klopt helemaal.

Ikzelf vat zo'n soort differentiaalvergelijking y'=f(t,y) altijd op als een soort raadselachtige omschrijving van wat y(t) eigenlijk is.

Kijk, je hebt "gewone" vergelijkingen (bijv. 2+x=5) en dat zijn als het ware raadselachtige omschrijvingen van wat x eigenlijk is. Ze hadden ook gewoon kunnen zeggen x=3.
Maar nee, in de wiskunde is het de lol om er een raadsel van te maken te te zeggen: er is een x, wat de waarde ervan is zeg ik lekker niet maar ik verklap je wèl dat die x voldoet aan 2+x=5.
Dus na enig puzzelen moet je er zelf op uit komen dat x=3

Zo ook met differentiaalvergelijkingen.
Dat zijn niet vergelijkingen waarin een variabele (zoals de x in het voorgaande voorbeeld) de onbekende is, maar waarin een complete FUNCTIE y(x) de onbekende is.

voorbeeld: er is een functie y(x). WAT die functie is, verklappen we lekker niet, maar wat we wèl verklappen is dat die functie voldoet aan de vergelijking:
y'(x)=2x.y(x)
in woorden: de afgeleide van de functie y(x) moet gelijk zijn aan 2 keer x keer de functie y(x)-zèlf. Rara wat is y(x)
(dit is toevallig van de vorm y'(x)=f(x,y(x))

deze vergelijking kunnen we trouwens ook kortweg schrijven als y'=2xy waarbij we stilzwijgend aannemen dat y=y(x)
...hm, leuk. Nu mag jij dus uitvogelen, met deze cryptische omschrijving met welke functie y(x) jij nou precies het genoegen hebt.

Gelijk maar even uitwerken dan:
dy/dx = 2xy Û dy/y = 2xdx Þ lny=x²+C Ûy=exp(x²+C)=C₂exp(x²)
de waarde van C₂ hangt af van de randvoorwaarde.

Dit is een manier waarop je tegen die differentiaalvergelijkingen aan kunt kijken.

Natuurlijk volgt in het echt de "cryptische omschrijving" van zo'n functie (de feitelijke differentiaalvergelijking) natuurlijk niet uit het plezier om studenten met raadsels op te zadelen , maar volgt rechtstreeks uit het probleem (fysisch, economisch, biologisch, ..) dat je aan het onderzoeken bent.

Wat betreft de dx'en van het integreer-verhaal zou je eens kunnen googlelen op (de plaatjes m.b.t.) Riemann som (Riemann sum). Die bieden waarschijnlijk direct een inzicht in wat je precies met integreren aan het doen bent.

groeten,

martijn

mg
1-8-2006