WisFaq!

Berekening saldo met jaarlijkse bijstorting

Ik kom niet verder met deze vraag. Ik zal de gehele vraag hier neerzetten.

U zet elk jaar €1000,- op een spaarrekening die 6% rente per jaar opbrengt. Wat is uw saldo direct na de vijftiende storting?

Ik kom niet verder dan dit:
1,06n^-1+1000

hulp zou welkom zijn, bedankt

rens
12-7-2006

Antwoord

Het beste wat je kan doen om zo'n vraag het hoofd te bieden, is niet om zomaar een formule te proberen en te kijken of dat toevallig het "goede antwoord" is, maar om de vraag *zèlf* met wat voorbeeldjes te gaan VERKENNEN.

Zodoende krijg je meer grip op het probleem.

stel we noemen het inlegbedrag 'b',
de rentefactor 'r' (dus als rente=6%, dan is de rentefactor 1,06)
en het totaal na n jaar 't_n'.
dan geldt:
t₀ = b
t₁ = b.r
Dit is nog niet zo lastig. Na jaar 1 leg je direct wéér bedrag b in, dus na 2 jaar is het totaal:
t₂ = (t₁+b).r = (b.r + b).r
t₃ = (t₂+b).r = ((b.r + b).r + b).r

ofwel t₃ = b.(r³+r²+r)

Zodoende blijkt dat t_n= b.(rⁿ+...+r³+r²+r)
En als je dan *direct* na het n-de jaar weer bedrag b inlegt (zoals in je opgave), dan is het bedrag:
b.(rⁿ+...+r³+r²+r+1)

Vervolgens maken we even een klein 'uitstapje' om te kijken hoe je ookalweer het handigst die factor (rⁿ+...+r³+r²+r+1) kan uitrekenen.

årⁿ = 1+r+r²+...+rⁿ
= (truc!) (1+r+r²+...)(r-1)/(r-1) = (rⁿ⁺¹-1)/(r-1)

Dusss:
eindbedrag na n jaar = b.(rⁿ+...+r³+r²+r+1)
= b.((rⁿ⁺¹-1)/(r-1))

Vul nu de bedragen in
1000.(1,06ⁿ-1)/(1,06-1) = ...
Waarbij ik het aan jou overlaat om te bedenken welk getal je nou voor n in moet vullen. Let op, kijk goed naar de opgave!!


groeten,
martijn

mg
13-7-2006