WisFaq!

Laplace transformaties van periodieke functies

Ik heb een vraag over Laplace transformaties van periodieke functies. Daarbij is de volgende formule gegeven:
£[f](s)=1/(1-e^(-Ts)INT e^(-su)f(u)du
Hierin is T de periode en de integraal loopt van 0 tot T.
Ik loop alleen telkens vast met deze formule.
Zouden jullie dit misschien een keer voor mij willen uitwerken voor bijvoorbeeld t^2*e^t*cos(t)? Alvast Bedankt!

Ron
23-6-2006

Antwoord

Je voorbeeld is niet periodiek; de formule werkt alleen als f echt een periodieke functie is.
Bijvoorbeeld f(t)=sin(t), of g(t)=t-[t] (hierbij is [t] het grootste gehele
getal kleiner of gelijk aan t, dus g(1)=1, g(pi)=3 en g(-pi)=-4; teken de grafiek maar eens, je krijgt een soort zaagtandjes).
Je kunt L(f) op twee manieren uitrekenen: integreer e^-su*sin(u) van 0 tot oneindig; of van 0 tot 2Pi, maar dan moet je het resultaat delen door 1-e^{-2Pi s}.
Voor g geldt hetzelfde (nu is de periode gelijk aan 1); de formule-met-periode geeft 1/(1-e^-s)*int(e^-su*u,u=0..1). De laatste kun je met partiële integratie uitrekenen: 1/(1-e^-s)*(1/s²*(1-e^-s)-1/s*e^-s).

kphart
30-6-2006