WisFaq!

Inverse, inproductruimte en spiegeling

Ik heb 3 opdrachten waar ik niet uitkom:
1. Gegeven is een lineaire afbeelding A met eigenwaarde l. Ook bestaat de inverse afbeelding A^-1.
Bewijs dat A^-1 eigenwaarde l^-1 heeft.

Ik weet niet welke stellingen ik kan gebruiken. Is er een relatie tussen inverse en eigenwaarde??

2. In de vectorruimte M, van alle 2x2-matrices met de gewone optelling en scalaire vermenigvuldiging, wordt als mogelijk inproduct gedefinieerd:
(A),(B)=a_1,1b_1,1+a_1,2b_1,2+a_2,1b_2,1+a_2,2b_2,2

Onderzoek of we inderdaad hiermee M tot inproductruimte maken.

Nu moet ik bekijken of dit voldoet aan de 5 eisen van een inproductruimte, maar ik weet niet hoe ik dit in moet vullen...

3. In R4 wordt er gespiegeld in de deelruimte V met vergelijking x+y+2z-w=0.
a. Bereken de bij de spiegeling horende matrix.
b. Geef de eigenwaarden en de eigenruimten van deze spiegeling.

Nu moet ik eerst op zoek naar vectoren die in het vlak liggen en zichzelf als beeld hebben. Maar hoe weet ik of ik de goede heb??

Wie kan me op weg helpen met deze opdrachten??

Groeten Tjen

Tjen
1-6-2006

Antwoord

dag Tjen,

1. Denk aan de definitie van eigenwaarde.
Er is blijkbaar een vector v waarvoor geldt:
A·v = l·v
Vermenigvuldig beide kanten van de vergelijking links met A^-1 ...
2. Hier zit niets anders op dan 'gewoon' alle eisen een voor een te toetsen. Het rolt er dan allemaal tamelijk vanzelf uit.
3. De matrix van V vind je door van de vier basisvectoren de beelden te berekenen.
Bijvoorbeeld het beeld van de vector e₁=(1,0,0,0) vind je, door de projectie p van e₁ op V te berekenen.
Het beeld is dan gelijk aan 2p - e₁.
De eigenvectoren zijn de vectoren uit het vlak zelf, bij eigenwaarde 1, en de normaalvector, bij eigenwaarde -1. Van de vectoren uit het vlak zelf moet je een basis vinden. Dit kan op oneindig veel manieren. Je kunt dus niet spreken over 'de goede'.
succes,

Anneke
2-6-2006