WisFaq!

Stereografische projectie

Hoi,


Ik heb een opgave over de stereografische projectie, waar ik geen antwoord op kan vinden. Ik heb de afbeelding f: z -- 1/z op . Deze afbeelding induceert deze afbeelding van de complexe sfeer, nl. p[^-1]·f·p.

(z is de waarde in het complexe vlak na een stereografische projectie)



Nu is de opgave om te laten zien dat dit gelijk is aan: (x_1,x_2,x_3) -- (x_1,-x_2,-x_3)

waarbij x_1,x_2 en x_3 de coördinaten van de sferische bol zijn.



Ik heb zelf al de afbeelding p en p[^-1] berekend. Deze worden mijns inziens gegeven door:

p: (x_1/(1-x_3),x_2/(1-x_3),0)

p[^-1]: (2Re(z)/(|z|^2+1),2Im(z)/(|z|^2+1),(|z|^2-1)/(|z|^2+1))


Kan iemand me verder helpen om dit probleem te begrijpen?

Erik
29-5-2006

Antwoord

Het wordt wat eenvoudiger als je z=x+iy schrijft (dus x=Re(z) en y=Im(z)).
Merk nu op dat Re(1/z)=x/(x²+y²) en Im(1/z)=-y/(x²+y²) en reken vervolgens p^-1(1/z) uit. Je zult de gevraagde formule zien verschijnen.

kphart
6-6-2006