WisFaq!

De nulpunten van een 3e graadsvergelijking bepalen

ik probeer erachter te komen hoe je de nulpunten van een 3e graadsvergelijking kunt vinden. ik ben al bezig geweest met de formule van cardano, maar ik krijgt telkens een negatieve wortel die ik niet kan oplossen. de functie is ¦(x)=3x³-2,4x²-65,4x+108
hopelijk kan iemand mij helpen.

Joep Kluwen
29-5-2006

Antwoord

Beste Joep,

Cardano zou echt een 'laatste toevluchtsoord' moeten zijn, want prettig werken is het niet om zo een vergelijking op te lossen. We willen de nulpunten zoeken, dus de volgende vergelijking oplossen:

3x³ - 2.4x² - 65.4x + 108 = 0

Wat je zou kunnen opvallen is dat alle coëfficiënten deelbaar zijn door 3. Om de kommagetallen kwijt te spelen kan je eventueel ook vermenigvuldigen met 5. Dus we doen alles maal 5/3, dat levert:

5x³ - 4x² - 109x + 180 = 0

Nu, stel dat er gehele nulpunten zijn, dan moeten dit delers zijn van de constante term, hier 180. Dat levert een aantal mogelijke kandidaten waarvan je de kleinere makkelijk kunt proberen door ze in de vergelijking te steken, dit zijn 2,3,4,5 en hun tegengestelden.

Als je goed rekent vind je op die manier dat x = 4 en x = -5 nulpunten zijn. Dankzij de factorstelling en met behulp van de regel van Horner kan je dan de overblijvende factor bepalen.

Als je dit voor beide nulpunten doet, dan hou je nog een eenvoudige lineaire factor over waarvan het nulpunt makkelijk te bepalen is, je zou x = 9/5 moeten vinden.

Het lijkt misschien nog veel werk, maar het is eleganter dan Cardano

mvg,
Tom

td
29-5-2006