WisFaq!

Direkte som

Hallo wisfaq,

Laat H een Hilbertruimte zijn en stel dat K en L gesloten lineare deelruimten van H zijn en K en L staan loodrecht op elkaar.Ik wil bewijzen dat K+L een direkte som is en dat deze som gesloten is in H

(Ik schrijf K' en L' voor het orthogonaal complement van K resp.L)
1.K en L staan loodrecht op elkaar:
K is bevat in L'={x in H : (x,a)=0 voor iedere a in L}
L is bevat in K'={x in H : (x,a)=0 voor iedere a in K}

2.Theorie1 Laat A een gesloten deelruimte zijn van H.Dan is H de direkte som van A en A'.

3.Theorie2 Laat A een niet lege gesloten convexe deelverz. zijn van H en laat x in H zijn.Dan is er een uniek punt a in A met d(x,H)=||x-a||

4.Theorie3 Laat A een gesloten lineare deelruimte van H zijn.Voor iedere x in H, bestaat er een unieke a in A en b in A'(orth.compl.van A) zodat z=a+b.Ook, ||x||^2=||a||^2+||b||^2.

Ik weet dat ik de volgende drie punten moet bewijzen:
1.K+L=H
2.doorsnede van K met L is {0}
3.de direkte som is gesloten in H.

bewijs van 1.Laat x in H zijn.Uit thr.2 volgt:
er bestaat een unieke y in K zodanig dat ||x-y||=d(x,K)
er bestaat een unieke z in L zodanig dat ||x-z||=d(x,L)

Uit thr.3 volgt:
voor iedere x in in H is er een unieke y in K en een unieke z in K' z.d. x=y+z

voor iedere x'in H en y'in L en unieke z' in L' z.d. x'=y'+z'.

Nu heb ik veel feiten en theorieën maar ik weet niet hoe ik het bewijs moet doen.Ik denk dat ik om punt 1 te bewijzen moet laten zien dat iedere x in H geschreven kan worden als x=y+z met y in K en z in L.

Groeten,
Viky

viky
29-5-2006

Antwoord

Voorzover ik kan zien staat nergens dat K+L gelijk moet zijn aan H; er staat alleen maar dat K+L een directe som van K en L is. Dat laatste kun je op veel manieren definieren/karakteriseren; de gebruikelijke definitie is: elk element van K+L is op precies één manier te schrijven als x+y met x in K en y in L. Dat kun je weer karakteriseren door de eis ``K doorsnede L = {0}''. Die laatste eis is snel gecontroleerd: als z in de doorsnede zit zit hij in K en in L; omdat K en L loodrecht op elkaar staan staat z loodrecht op zichzelf, dus z=0.
Bewijzen dat K+L gesloten is, is meer werk. Stel z zit in de afsluiting van K+L; er zijn dan rijen (x_n) in K en (y_n) in L zó dat z=lim(x_n+y_n). Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je nu bewijzen dat beide rijen Cauchy-rijen zijn, dus convergent in H. Dan geldt x=lim x_n in K zit en y=lim y_n in L; conclusie z=x+y zit in K+L.

kphart
30-5-2006