WisFaq!

Derdegraadsvergelijking

Hai beste Wisfaq,

Ik zit echt met een probleempje, ik zelf heb HTS gedaan en ben een keer voor de gein eens keer naar HAVO eindexamen wiskundeB sommen bekeken. Ik ging het voor het gein een keer maken en kijken wat er nog is blijven hangen, echter 1 som kwam ik echt niet uit, en ik zit er nog steeeds mee. Ik dacht ik ga het toch maar vragen.

Gegeven is de volgende vgl.:

f(x) = (x² -1)(x-2)

de vraag is evenwijd aan de x-as snijdt het lijn g(x) met f(x) op precies 2 punten. Deze punten worden B en C genoemd.
de vraag is bereken de afstand van dit lijnstuk B en C.

Okey, inmiddels begrijp ik al waarom ik niet uitkwam want blijkbaar is dit met een grafische rekenmachine gedaan en dus simpel uit te rekenen is, maar aangezien ik van de hardcore wiskunde houdt, ben ik dit dus algrabraisch proberen op te lossen.

Mijn eerste aanname was (figuur schets was gegeven) dat de lijn g(x) de top snijdt en dat coordinaat is punt B. deze is te bereken door te differntieren van f(x) en hierdoor de bijbehorende y waarde te berekenen. hieruit blijkt dat de B coordinaat (-.022; 2.11) is. Dus g(x) = 2.11

nu krijg je f(x) = g (x)
(x² -1)(x-2) = 2.11
de vraag is nu hoe los je deze vgl op??


ik ben benieuwd???

Johnny
23-5-2006

Antwoord

dag Johnny

Ik heb de figuur er niet bij, maar ik zal een poging wagen om een bevredigend antwoord te geven.
Als je dan toch van de hardcore bent, dan zou ik de berekende coördinaten niet gaan afronden, maar gewoon laten staan.
Er zijn twee x-waarden waarvoor de afgeleide gelijk is aan 0. Blijkbaar is uit de figuur duidelijk dat je voor de linker-oplossing moet kiezen.
Overigens: als je de andere zou kiezen, blijft het antwoord op de vraag (de afstand van B en C) hetzelfde.
Neem dus als x-coördinaat van B: xb = (2 - Ö7)/3
de y-coördinaat van B is dan yb = f((2 - Ö7)/3).
De vergelijking die je op moet lossen luidt dan:
f(x) = yb ofwel f(x) - yb = 0
Ik beschrijf eerst een wat onorthodoxe methode, die gebruik maakt van de bijzondere situatie van dit geval.
Je weet al, dat deze vergelijking de oplossing heeft: x = xb, en wel tweemaal!
De andere oplossing is xc, en die zoeken we juist.
Je kunt de vergelijking dus ook schrijven als
(x - xb)²·(x - xc) = 0
Werk beide vergelijkingen uit.
Stel nu (bijvoorbeeld) de beide coëfficiënten van x² uit beide vergelijkingen aan elkaar gelijk om xc te berekenen.

Je kunt ook proberen om een 'gewone' methode van derdegraadsvergelijkingen toe te passen.

Anneke
24-5-2006