WisFaq!

Een 1e graads functie opstellen mbv een raaklijn van een 4e graads functie

ik heb morgen een proefwerk en ik heb deze brandende vraag die ik niet begrijp:

f(x)=x⁴-4x³+4x²
Verder is er de lijn g(x)=mx.
f(x) en g(x) hebben precies 3 punten gemeenschappelijk. Nu moet ik 'm' berekenen.

Ik ben er al achter dat de enige manier dat deze grafieken 3 punten gelijk hebben wanneer de lijn door de oorsprong gaat (mx+0, dus door de oorsprong) en raakt aan het bolletje in het midden van f(x).

Hieruit is af te leiden dat mx = raaklijn in punt waar mx raakt aan het bolletje.

Nu heb ik het probleem de functie voor de raaklijn op te stellen aangezien ik van dat raakpunt noch de x, noch de y coordinaat weet!

Verder gebruik ik de simpele manier om een raaklijn op te stellen: y = rc (x-xa) + ya.
waarbij: rc = richtingscoefficient van punt a (f'(a))
waarbij: xa = x-coordinaat van punt a (a)
waarbij: ya = y-coordinaat van punt a (f(a))

Ik hoop enorm dat iemand mij hiermee kan helpen...

Carel
22-5-2006

Antwoord

In dat raakpunt moet gelden:
mx=x⁴-4x³+4x² (1)
maar ook:
m=f'(x), dus m=4x³-12x²+8x. (2)
Als je nu (2) invult in (1) dan krijg je 4x⁴-12x³+8x²=x⁴-4x³+4x²
Dus
3x⁴-8x³+4x²=0
x²(3x²-8x+4)=0
x=0 of 3x²-8x+4=0
Oplossen van 3x^2-8x+4=0 geeft je dan de x-coordinaat van dit raakpunt. (en nog een ander punt, een top van f(x))
Met behulp van de x-coordinaat van het raakpunt kun je dan m berekenen.

hk
22-5-2006