WisFaq!

Re: Vraagstuk: bereken jaar waarin minste inwoners

Ik zie echt niet hoe dat moet.
Bedoelt u dat u(n)+1/ 0.95U(n) = -1000
En dat -1000 de constante is.
De randvoorwaarde is dat : 20000?
Maar zou iets meer kunnen zeggen over de oplosmethode aub, want ik begrijp de vergelijking niet.

splash
22-5-2006

Antwoord

Als je nog nooit een differentievergelijking hebt opgelost, kan ik me voorstellen dat mijn antwoord onbegrijpelijk is.
Ik zal proberen om het kort uit te leggen.
Je neemt eerst de zogenaamde homogene vergelijking:
U_n+1 - 0.95·U_n = 0
Voor de oplossing hiervan kies je de vorm U_n = C·rⁿ
Hierbij is C een constante die je pas aan het einde uitrekent, en r is de waarde die je uitrekent door U_n en U_n+1 in te vullen in de homogene vergelijking.
Je vindt dan: r = 0.95.
Dus: voor de homogene vergelijking is de oplossing
U_n = C·0.95ⁿ
Dan kijk je naar de vorm die in het rechterlid overblijft bij de oorspronkelijke vergelijking:
U_n+1 - 0.95·U_n = -1000
Er staat een constante. Dat betekent dat je als particuliere oplossing ook een constante kunt verwachten. Noem deze constante A.
Vul A in voor zowel U_n+1 als voor U_n.
Je vindt dan:
A - 0.95·A = -1000
Dus A = -20000
De algemene oplossing voor U_n is dan:
U_n = C·0.95ⁿ - 20000
In deze vorm kun je voor n de waarde 1 invullen. U_n moet dan de waarde 80000 krijgen. Daarmee kun je C uitrekenen.
Ik hoop dat het zo wat duidelijker is.

Anneke
22-5-2006