WisFaq!

Groepen

Laat N1 en N2 normaaldelers van G zijn met N1ÇN2= 1. Bewijs voor n1ÎN1 en n2ÎN2 geldt n1n2= n2n1. Leid hieruit af dat G een ondergroep bevat die isomorf is met N1 x N2.

Alvast bedankt

evelien haas
17-5-2006

Antwoord

1. Bekijk (n1n2)(n2n1)^-1, dit element moet 1 zijn. Welnu, het product is gelijk aan n1n2n1^-1n2^-1. Lees het als (n1n2n1^-1)n2^-1; omdat N2 een normaaldeler is zitten beide factoren in N2, dus het product ook. Lees het als n1(n2n1^-1n2^-1); omdat N1 een normaaldeler is zitten beide factoren in N1, dus het product ook. Conclusie ...
2. Nu kun je bewijzen dat de afbeelding f: N1 x N2 - G, gedefinieerd door f(n1,n2)=n1n2 een homomorfisme is en wegens de conditie op de doorsnede is dat homomorfisme injectief.

kphart
19-5-2006