WisFaq!

Re: Invariantie deelruimtes onder een transformatie

hoi bedankt voor de uitleg en ik begrijp nu het concept invariante deelruimtes onder een afbeelding

als matrix voor T heb ik gevonden:

2 -1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 -1
0 0 1 1

de vectoren die als een veelvoud van zichzelf afgebeeld worden:

ik denk dan aan de eigenvectoren van de matrix omdat geldt:
Mv = lv

dus ik zou eerst de eigenwaarden moeten vinden
als karakteristiek polynoom heb ik gevonden:

Pt = x⁴ -5x³+9x²-7x+1

het lichaam is de complexe getallen

maar hoe vind ik nu precies al die nulpunten hiervan?
en is dit wat u bedoelde met de hint?

jordy
17-5-2006

Antwoord

dag Jordy,

Inderdaad, dat bedoelde ik. En jouw aanpak via eigenwaarden is ook de standaard aanpak. Alleen kun je in dit geval het karakteristieke polynoom beter laten staan in de onuitgewerkte vorm. Dat wil zeggen: het product van twee kwadratische vormen. De nulpunten hiervan zijn dan een stuk eenvoudiger uit te rekenen.
Maar... voor je nu het karakteristieke polynoom gaat uitrekenen, kun je ook eens kijken naar de speciale vorm die de matrix heeft.
Zie je dat elke vector van de vorm (a,b,0,0) weer op zo'n zelfde soort vector afgebeeld wordt?
Snap je ook dat alle vectoren van die vorm samen een deelruimte vormen?
Dan heb je dus al een van de twee deelruimtes gevonden. Een andere zal dan ook wel lukken. Je hebt hier dan helemaal geen eigenwaarden bij nodig.
groet,

Anneke
17-5-2006