WisFaq!

Invariantie deelruimtes onder een transformatie

hoi ik heb een vraagje over het volgende:

T is een lineaire transformatie van V gegeven door:

T(a,b,c,d) = (2a-b,a+b,c-d,c+d)

nu moet ik 2 onder T invariante deelruimtes van V vinden, genaamd U1 en U2 die beide dim=2 hebben

Maar ik snap al niet wat ze bedoelen met een onder T invariante deelruimte en dus ook niet hoe ik die deelruimtes nou precies moet gaan vinden.
zou iemand wat hints en uitleg kunnen geven?

Jordy
14-5-2006

Antwoord

dag Jordy,

Met een invariante deelruimte wordt bedoeld: een deelruimte van V (weet je wat een deelruimte is?), die invariant ofwel onveranderlijk is onder de transformatie T.
Noem W zo'n invariante deelruimte.
Dat betekent dat voor elk element w van W moet gelden, dat T(w) ook weer een element van W is.
Even een voorbeeld uit de gewone drie-dimensionale ruimte waar je je misschien wat makkelijker iets bij kunt voorstellen: Neem de spiegeling in het x-y-vlak. Snap je dat het x-y-vlak zelf een invariante deelruimte is van deze spiegeling? Maar bijvoorbeeld ook een vlak dat loodrecht op het x-y-vlak staat is een invariante deelruimte, want elk element hiervan wordt weer op hetzelfde vlak afgebeeld.
Nu terug naar de oorspronkelijke opgave.
Kun je een matrix maken van T?
Kun je bij deze matrix vectoren vinden, die op een veelvoud van zichzelf afgebeeld worden? Hoe heet dat ook al weer?
Hopelijk heb je voldoende aan deze tip, en kun je nu zelf verder.
Succes,

Anneke
15-5-2006