WisFaq!

Oplossingen van derdegraads vergelijkingen

Hallo

Ik heb wel eens eerder een vraag gesteld, maar heb daar nog geen concreet antwoord gekregen, ik werd de hele tijd verwezen naar andere vragen waar ik weinig aan had.

Ik moet namelijk voor wiskunde een werkstuk maken over derdegraads vergelijkingen, de formule van cardano etc. Nu heeft de formule van Cardano 3 oplossingen, maar in een voorbeeld dat gegeven stond in het boek was er maar 1 oplossing: de reële oplossing van de vergelijking. Nu schijnen er ook twee zogenaamde complexe oplossingen te zijn.
Mijn vraag is: wat wordt hiermee bedoeld?

Alvast bedankt

Niek
8-5-2006

Antwoord

Beste Niek,

Heb je al van complexe getallen gehoord? Indien niet, dan wordt dit nogal moeilijk om te volgen. Ik raad je aan dan enkel het reële geval te bekijken of je eerst in een basis complexe getallen te verdiepen (hierover is ook op wisfaq vanalles te vinden).

Als we eerst een stap teruggaan naar kwadratische vergelijkingen, dan hadden we daar de 'discriminant' uit de abc-formule, namelijk D = b²-4ac. Bij D 0 zijn er twee verschillende oplossingen, bij D = 0 is er één oplossing (of 'twee samenvallende') en bij D 0 waren er geen (reële) oplossingen. Ik zet er 'reële' bij omdat er dan nog steeds 2 oplossingen zijn, maar complex.

Hetzelfde kan zich voordoen bij vergelijkingen van de derde graad, maar omdat de complexe oplossingen steeds in paren voorkomen ('toegevoegde complexe getallen') zul je er ofwel geen hebben (en dus 3 reële oplossingen) ofwel twee (en dus nog slechts één reële oplossing).

Bekijk bijvoorbeeld: x³+x = 0. Ontbinden levert: x(x²+1) = 0. De eerste factor geeft direct x = 0 als (reële) oplossing, maar de discriminant van de overgebleven kwadratische factor is negatief. Er zijn geen reële oplossingen meer, maar wel nog twee complexe oplossingen.

mvg,
Tom

Zie Wat is een complex getal? [http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=4146]

td
8-5-2006