WisFaq!

Re: Primitiveren cosinus

tot het gedeelte van de ¦cos(x) * (1-sin²(x).dx snappen we het. Maar wat doe je daarna, wat betekent het als je de sin(x) in de dx zet?

watn de primitive moet zijn sin(x)-1/3 sin³(x) en nu krijgen we sin (x) * -1/3 sin³(x), dus een keer teken te veel.

Sander Mulder
3-5-2006

Antwoord

Allereerst mag je een factor in een integraal 'achter' de d halen door deze factor te primitiveren.
voorbeeld. stel je hebt òsinx.cosx dx
Dan mag je de factor cosx naar achter de d tillen door te primitiveren:
òsinx dsinx

waarom mag dat? omdat d(sinx)/dx= cosx Û cosx.dx = d(sinx)

nog een voorbeeld: òx.e^x2dx mag je de factor x naar achter de d brengen door deze term te primitiveren:
òe^x2d(¹/₂x²)
= ¹/₂.òe^x2d(x²)

volg je het tot hier nog? mooi! dan gaan we een stapje verder:

Het klinkt als een open deur misschien, maar de 'dx' in een integraal betekent dat je moet primitiveren naar 'x'.
Wanneer er nou geen dx staat, maar iets anders, bijvoorbeeld d(sinx) betekent het dat je moet primitiveren naar 'sinx'.
Ik zal dit proberen te verduidelijken.
In het voorbeeld hiervoor zagen we: òsinx d(sinx)
Wat moet je hier nu mee?? want dit ziet er heel lastig uit.
Er staat in woorden dat je sinx moet primitiveren naar sinx.
Wel, laten we die sinx nu eens voor het gemak Y noemen: Je kunt dit nu net zo lezen als òY.dY
En de primitieve van Y (naar Y) is simpelweg ¹/₂Y².
DUS is òsinx d(sinx) = ¹/₂(sinx)² ofwel ¹/₂sin²x

Nu terugkomend op het probleem dat je ingezonden hebt:
tot òcosx(1-sin²x)dx snapte je het nog.
Wel, de volgende stap was: de factor 'cosx' naar achter de d tillen door deze factor te primitiveren: ò(1-sin²x)d(sinx)
Wat hier feitelijk staat, is dat je 1-sin²x moet primitiveren naar sinx.
Noem sinx nu eens Y:
Dit is hetzelfde als 1-Y² primitiveren naar Y. En dat is eenvoudigweg
Y-¹/₃Y³
Oftewel ò(1-sin²x)d(sinx) = sinx - ¹/₃sin³x

hopelijk is het zo wat duidelijker.

groeten,
martijn

mg
3-5-2006