WisFaq!

Het bewijs van een formule uit de fibonacci-rij

Ik probeer al een tijdje om de volgende formule uit de fibonacci-rij te bewijzen:
(Fn)² + (Fn+1)² = F(2n+1).

Veel andere formules uit de rij van fibonacci heb ik al wel bewezen en dat allemaal zonder de formule van Binet te gebruiken, ik vroeg me af of ik deze formule ook niet kan bewijzen zonder de formule van Binet of een dergelijke formule te gebruiken.
Als de formule nou wel bewezen moet wporden met de formule van Binet zou je me dan het eerstedeel van het bewijs kunnen geven want met de formule van Binet ben ik tot nu toe ook niet ver gekomen.

Ricardo
20-4-2006

Antwoord

Hoi,

Je zou dit kunnen bewijzen m.b.v. volledige inductie en de formule van Binet.
Voor n = 1 klopt het, triviaal. Stel dat 't voor n klopt, te bewijzen dat het ook voor n + 1 klopt. Dus bewijzen (F(n+1))² + (F(n+2))² = F(2n+3).

Dus het klopt ook voor n+1, dus voor alle natuurlijke n.
Hierboven heb ik gebruik gemaakt van de formule van Binet F(n) = ^{j^n - (-j)^(-n)}/_Ö(5).
Indien een stap niet duidelijk is, reageer dan op dit antwoord.

Davy
20-4-2006