WisFaq!

Eisenstein

Hallo,

Ik wil bewijzen dat x^11=169 irrationaal is.
De eerste manier met behulp van de p/q methode.
p^11=169.q^11
p^11=13^2.q^11
het linkerlid bestaat uit een 11-voud factoren en het rechterlid uit een 11-voud+2 factoren.
Conclusie: ontbinding is niet eenduidig dus x^11=169 is irrationaal.

Nu probeer ik dat ook met het criterium van Eisenstein:
f(x)=-169+x^11
169=13^2
13 is priem
13|169
13 is geen deler van 1
maar.......13^2 is wel een deler van 169

Conclusie: 13^2 is wel een deler van 169 dus criterium geeft aan dat x^11=169 rationaal is.

Het enige wat ik kan bedanken is dat p^2 een "echte" deler moet zijn van 169.
Klopt dit? ....of wat doe ik fout?

Met vriendelijke groet,
Kees

Kees
19-4-2006

Antwoord

Als je kijkt op volgende link
Eisensteins criterium
dan zie je dat de voorwaarde die je gebruikt (nl het feit dat het priemgetal p alle coëfficiënten deelt behalve de hoogste graadscoëfficiënt, maar p² geen deler is van de constante) is een voldoende voorwaarde is, maar geen noodzakelijke.

Als je een dergelijke p vindt dan is de veelterm irreduciebel,
maar als er geen dergelijke p bestaat, tja, dan kan je niets besluiten.

Mvg,
Els

Els
24-4-2006