WisFaq!

Vraagstukken met matrices

Iemand heeft drie favoriete vakantiebestemmingen: de Belgische kust, Frankrijk en Zwitserland. Als hij het enen jaar naar de Belgische kust gaat, dan gaat hij het volgende jaar zeker niet meer terug. De kans dat hij dan naar Frankrijk gaat is 2/3. Als hij naar Frankrijk of Zwitserland gaat, dan is de kans dat hij het volgende jaar naar dezelfde plaats teruggaat gelijk aan 1/4. De kans dat hij naar een van de twee andere plaatsen gaat is dan even groot.

1. In 2002 is hij uitgeregend aan de Belgische kust. Hoe groot is de kans dat hij dit jaar teruggaat?
2. Wat is na verloop van tijd, de bestemming waaar hij het meest naar toe is gegaan? En naar waar het minste?

Ik heb daar een matrix op proberen te maken:

(1/4    2/3    3/8)
(3/8    0      3/8)
(3/8    1/3    1/4)

Maar dan zit ik potvast
Zit ik al in de juiste richting of ben ik helemaal verkeerd bezig?

Groetjes,

Marijke Borremans
17-4-2006

Antwoord

Hallo Marijke

De matrix die je hebt opgesteld, is prima en stelt het volgende voor:
kolom 1 stelt de kans voor dat hij resp. naar F(rankrijk), B(elg. kust) en Z(witserland) gaat als hij vorig jaar naar F is gegaan;
kolom 2 stelt de kans voor dat hij resp. naar F, B en Z gaat als hij vorig jaar naar B is gegaan;
kolom 3 stelt de kans voor dat hij resp. naar F, B en Z gaat als hij vorig jaar naar Z is gegaan.
Noem deze matrix M.

Het feit dat hij in 2002 naar B is geweest stellen we voor door de matrix A =
Om de kansen te berekenen waar hij in 2003 naartoe gaat vinden we door M.A =
Noem deze matrix B.

Om de kansen te berekenen waar hij in 2004 naartoe gaat is dan M.B = M.(M.A) = M².A =
Noem deze matrix C.
Dus in 2004 geldt : P(F)=0.292, P(B)=0.375, P(Z)=0.333

De kansen voor 2005 (dus na 3 jaren) zijn M.C = M.(M².A) = M³.A
Na vier jaren (in 2006) wordt dit M⁴.A =

Na vijf jaren wordt dit M⁵.A =

Na nog langere tijd veranderen deze waarden bijna niet meer en naderen dus naar vaste waarden, namelijk =

Dus na "lange tijd" geldt dat P(F)=⁴⁰/₉₉,P(B)=²⁷/₄₀ en P(Z)=³²/₄₀
Dit is typisch voor een Markov-proces.

LL
18-4-2006