WisFaq!

Re: Integraal met d/dx

Ik ben vergeten te vermelden van waar tot waar de integraal loopt. De integraal loopt van 0 tot x.
En de oplossing hier van is t3 exp(t2).
De uitleg hierbij is:

F'(t)= t3 exp(t2) dan is
integraal van nul tot x van t3 exp(t2) dt =F(x) - F(0)
waardoor
d/dx integraal van nul tot x van t3 exp(t2) dt = F'(x) - 0 =
t3 exp(t2)

Waarom wordt er hier F'(x) genomen opeens?

Bedankt voor de hulp :)

Jesse
14-4-2006

Antwoord

Beste Jesse,

Dat verandert de zaak natuurlijk, nu komt er een x in de grens. Het antwoord lijkt me dan wel in functie van x te moeten staan en niet in functie van t, we krijgen dus: x³e^x2.

Je kan inderdaad integreren (naar t, dan grenzen invullen) en vervolgens afleiden naar x, of inzien dat we eigenlijk twee 'inverse operaties' aan het uitvoeren zijn.

We zeggen dat het integrand F'(t) is, omdat we bij een integraal een functie F(t) zoeken, zodanig dat F'(t) precies terug het integrand geeft. Als we dit integrand dus voorstellen als F'(t) en een primitieve (voorlopig onbekende) functie F(t) beschouwen, dan is de integraal gelijk aan F(x)-F(0). Maar F(0) is een constante, zodat:

d/dx (F(x)-F(0)) = d/dx F(x) - d/dx F(0) = F'(x) - 0 = F'(x)

We vinden dus F'(x), dit is precies hetzelfde als F'(t), het oorspronkelijke integrand, alleen is de t vervangen door x, vandaar het antwoord in functie van x ipv t.

mvg,
Tom

td
14-4-2006