WisFaq!

Oppervlakte maximaliseren van driehoek

Stel je hebt een (willekeurig) parallellogram ABCD. Bewijs dan dat de basis maal de hoogte van het parallellogram steeds groter of gelijk is dan een (willekeurig) gekozen basis maal hoogte van een driehoek PQR met hoekpunten op de zijden van het parallellogram.
M.a.w. bewijs dat:
Basis_PQR · Hoogte_PQR Basis_ABCD · Hoogte_ABCD.

Bedankt alvast.

JP
14-4-2006

Antwoord

Beste JP,

Als alledrie hoekpunten P, Q en R samenvallen met hoekpunten van ABCD, dan is duidelijk voldaan aan het gelijkteken in jouw ongelijkheid.
We bekijken dus gevallen waarin P niet samenvalt met een hoekpunt. We nemen P vast vast op een zijde, zeg CD.

Zonder de algemeenheid te kunnen we ervan uitgaan dat Q op een zijde ligt die CD snijdt(immers, altijd ligt of Q of R op een zijde die de zijde snijdt die P bevat), zeg dat Q op AD ligt.

Do-------oP----------oC
  \                   \
   oQ                  \
   Ao-------------------oB

Als Q nu op D komt te liggen, dan zien we dat de maximale oppervlakte wordt bereikt als R ergens op AB ligt - en dan zie je meteen dat voldaan is aan het -teken in de ongelijkheid.
We gaan dus uit van Q niet samenvallend met punt D.
Om nu het derde punt R van de driehoek zo te kiezen dat de oppervlakte maximaal wordt, zoeken we de maximale hoogte bij basis PQ die we kunnen vinden. Dat is als R samenvalt met het punt B.

Do-------oP----------oC
  \                   \
   oQ                  \
   Ao-------------------oB=R

Bij de vaste P en deze keuze voor R kunnen we nog kijken welke keuze van Q nu de grootste oppervlakte had opgeleverd. De grootste hoogte bij basis PR wordt gevonden als Q samenvalt met A. Maar dan voldoet PQR weer aan het =-teken in de ongelijkheid.
Door de hele opzet van het verhaal zien we dat voor alle andere keuzes voor Q en R het -teken geldt.

FvL
16-4-2006