WisFaq!

Lengte van een kromme berekenen

Van een kromme met de volgende parametervoorstelling moet ik de lengte berekenen x=3cos2t y=cos3t
Welke integraal heb ik daarbij nodig en waarom? En hoe zit het met de lengte van de lus van de grafiek?

Mien
11-4-2006

Antwoord

Ik neem aan dat je de kromme x=3cos(2t), y=cos(3t) bedoelt.
De periode van deze kromme is 2p.
Hieronder een plaatje van deze kromme

Op t=0 start de kromme in het keerpunt (3,1).
Uit y=0 volgt cos(3t)=0, dat betekent dus 3t=¹/₂p,1¹/₂p,2¹/₂p...
Dus de kromme snijdt de x-as voor t=¹/₆p, ¹/₂p,⁵/₆p etc.
Het gedeelte van de kromme met t tussen 0 en ¹/₂p heb ik zwart getekent, het gedeelte van de kromme met t tussen ¹/₂p en p rood.
De lengte van de kromme is dus 2*₀ò^1/₂pÖ((x '(t))²+(y '(t))²)dt.
Als je met de "lus" bedoelt het stuk van de kromme dat gelegen is tussen het punt waar hij zichzelf snijdt moet je als integratiegrenzen nemen de twee opvolgende t-waarden die bij dit punt horen.
Dat zijn t=¹/₆p en t=⁵/₆p

hk
12-4-2006