WisFaq!

Probleem getallenrijen

Gegeven de rij van Fibonacci: u(n) = u(n-1) + u(n-2) met
u(1) = u(2) = 1
Door te delen door u(n-1) ontstaat u(n)/u(n-1) = 1 +u(n-2)/u(n-1)
Stel v(n) = u(n)/u(n-1)

a. Maak aannemelijk dat geldt: lim v(n) bestaat (n®¥) en geef ook de uitkomsten van de genoemde limiet.

Noem de beide mogelijke uitkomsten van de genoemde limiet
A = ¹/₂-¹/₂√5 en B=¹/₂+¹/₂√5
Beschouw de rij w(n)= (¹/₂-1/10√5) A^... + (¹/₂+1/10√5) B^...

b. Laat door berekening zien dat w(1) = w(2) = u(1) = u(2)
c. Voer u(n) en w(n) in op de GR. Wat constateer je?

Volgens mij is er maar één limiet (een positief getal en geen negatief getal!!!)
Volgens mij is w(1) = 1 en w(2) = 2??????? Of zit er een fout in de formule?

Bij voorbaat hartelijk dank

Petra

Petra Goethals
9-4-2006

Antwoord

dag Petra,

Je hebt helemaal gelijk: er is natuurlijk maar één limiet.
Maar waarschijnlijk wordt hier het volgende bedoeld:
v(n) = 1 + 1/v(n-1)
Als de limiet van v(n) bestaat als n®¥, dan zal voor die limietwaarde v gelden: v = 1 + 1/v
Hiermee heb je een vergelijking gevonden, die je kunt vertalen in een tweedegraadsvergelijking. Deze heeft twee oplossingen, namelijk (met de abc-formule): de gegeven A en B.
Een van deze twee (welke van de twee?) is de werkelijke limiet. De andere is juist de limiet van u(n-1)/u(n)
Verder heb je ook gelijk in je constatering dat w(2) gelijk is aan 2.
Ik weet niet precies wat de bedoeling is van de geformuleerde vraag, maar ik vermoed dat het te maken heeft met de formule van Binet:
Binet
Ik hoop dat je hiermee verder komt,

Anneke
13-4-2006