WisFaq!

Verjaardagprobleem

Hey,

bekende vraagstuk uit de kansrekening is de verjaardagsprobleem, die werkelijk een probleem is voor studenten zoals ik :)

Als de vraag luidt; "bereken de kans dat van vijf willekeurig gekozen personen er minstens twee op dezelfde dag jarig zijn"
dan gebruik ik de complementregel 1-(alle vijf op verschillende dagen jarig) dat wordt dan 365/365 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 = antwoord (Overigens; is er geen simpelere berekening hiervoor?)

want wanneer de vraag luidt; "In een klas zitten 30 leerlingen, bereken de kans dat minstens twee van deze leerlingen op dezelfde dag jarig zijn." dan heb ik de neiging om de complementregel te gebruiken, maar 30 keer delen lijkt mij ook niet handig, op welke manier kun je dit het beste berekenen?

heel erg bedankt voor de moeite... ;)

Aletta
30-3-2006

Antwoord

Hoi Aletta,
Simpeler kan het altijd . Laten we eens kijken naar een heel klein voorbeeld van 2 (ik laat even voor het gemak steeds de '1 - ' buiten beschouwing):
365/365 x 364/365 = (365x364)/(365x365) = 365x364 / 365²
Voor 3 krijgen we:
365/365 x 364/365 x 363/365 = (365x364x363)/(365x365x365) = 365x364x363 / 365³
Goed die noemer is dus wel wat eenvoudiger, ofwel 365ⁿ met n het nummer dat we willen hebben.
Dan de teller, 365x364x363x....
Daar kunnen we faculteiten voor gebruiken. Hopelijk weet je nog wel dat bijvoorbeeld 6! = 6x5x4x3x2x1
Dus kunnen we nemen: 365!. Maar dat is natuurlijk veel te veel:
365x364x.....(365-n+1)x(365-n)x......x4x3x2x1.
Het gedeelte vanaf (365-n) is dus teveel. Om dit op te heffen kunnen we eenvoudig delen door (365-n)!
Ofwel voor de teller krijgen we: 365!/(365-n)!.
Nu weer even teller en noemer combineren en we krijgen de formule:
(365!/(365-n)!)/365ⁿ
Dat kunnen we weer vereenvoudigen naar:
365!/((365-n)!·365ⁿ)

Dat ziet er op het eerste gezicht wel eenvoudig uit, maar helaas is 365! dat veel rekenmachines het niet aan kunnen.

Gelukkig hebben wel de meeste rekenmachines een optie voor het berekenen van permutaties. Deze hebben in het algemeen de vorm van k!/(k-n)! en worden vaak aangeduid met de toets 'nPr'. Vullen we hier dus nu even voor k = 365 in, dan krijgen we zo 365!/(365-n)!.
Onze formule is dan eenvoudig te herschrijven:
365!/(365-n)! x 1/365ⁿ

Hopelijk kom je er zo dan uit.

M.v.g.

PHS

p.s. vergeet niet die '1 -' nog even op het eind er weer voor te plaatsen

PHS
30-3-2006