WisFaq!

Rechten en vlakken

Hoi,

Gevraagd is:
Gegeven

$\alpha$ $\Leftrightarrow$ x-y-z = 0

$\beta$ $\Leftrightarrow$ x=t
y=-2-t+3s
z=s
a $\Leftrightarrow$ y-2z=0
x-y+z=1

b $\Leftrightarrow$ x=1+r
y=-1-2r
z=1+r

Gevraagd is nu:
a) Geef een stelsel parametervergelijkingen van de rechte d evenwijdig met $\alpha$ en $\beta$, die a en b snijdt.
b) Stel een cartesiaanse vergelijking p van het vlak $\delta$ dat evenwijdig is met a, loodrecht staat op $\alpha$ en de doorsnede van $\beta$ en b bevat.

Ik zou echt niet weten hoe ik hieraan moet beginnen, we zijn immers gewoon om slechts met 1 voorwaarde te werken; bv. z snijdt Z loodrecht. Hoe moet ik hier rekening houden met al deze opgaven?

Elke
25-3-2006

Antwoord

dag Elke,

Ik zal je een stukje op weg helpen.
a)
De rechte d moet evenwijdig zijn met twee vlakken $\alpha$ en $\beta$.
Dat betekent dat d evenwijdig is met de snijlijn van deze twee vlakken.
Kun je een parametervergelijking van deze snijlijn opstellen?
Daarmee heb je dus al een richtingsvector van d.
Nu moet d ook nog de twee rechten a en b snijden.
Kies een willekeurig punt op b, met behulp van de parameter r. Dit punt moet de steunvector van d worden.
Je hebt dan een vectorvergelijking van d met nog één onbekende r, en een parameter, zeg s.
Kun je hiermee, met het gegeven dat d ook nog de rechte a moet snijden, r en s van dat snijpunt berekenen? Dan heb je de gezochte r gevonden.

b)
Uit het gegeven dat $\delta$ evenwijdig is met a, kun je een richtingsvector van $\delta$ vinden.
Verder is $\delta$ loodrecht op $\alpha$, dus de normaalvector van $\alpha$ is ook een richtingsvector van $\delta$.
Kun je de doorsnede van b en $\beta$ berekenen? Dan heb je een steunvector van $\delta$.
Dan is het vinden van de vergelijking van $\delta$ verder standaard.
succes,

Anneke
25-3-2006