WisFaq!

Re: Bewijs natuurlijke getallen

Nee, ik zal mijn vraag preciseren:
stel je hebt een willekeurige verzameling N van 10 opeenvolgende natuurlijke getallen. Bewijs dat altijd 1 element uit die 10 met de overige 9 getallen als ggd 1 heeft.

Jeroen
21-3-2006

Antwoord

Beste Jeroen,

Als twee getallen van de 10 een ggd van groter dan 1 hebben, dan moeten zij een gemeenschappelijke priemfactor kleiner dan 10 hebben, i.e. 2, 3, 5 of 7.

1. Precies vijf getallen zijn even;
   
2. Van de oneven getallen zijn er maximaal twee een drievoud;
   
3. van de oneven getallen is er maximaal één een vijfvoud;
   
4. van de oneven getallen is er maximaal één een zevenvoud.

We hebben negen getallen opgesomd die met een ander getal een ggd van groter dan 1 kunnen hebben. Blijft er zowiezo een over.

Voor een ander aantal dan 10 werkt het niet zomaar. Bijvoorbeeld niet bij 20.
Heb je bijvoorbeeld de getallen a t/m a+19 met

• a=1 mod 2,
• a=1 mod 3,
• a=4 mod 5,
• a=4 mod 7,
• a=9 mod 11,
• a=9 mod 13,
• a=16 mod 17
• en a=0 mod 19

dan voldoen die niet. Elk getal heeft een ander getal in het rijtje dat niet copriem is. (Een voorbeeld is het rijtje van 20 getallen dat begint met 55921).

FvL
28-3-2006