WisFaq!

Differentiaalvergelijking samenstellen bij informatie over de groei

Aan de hand van de volgende informatie moet ik een differentiaalvergelijking opstellen:

In een populatie is een besmettelijke ziekte uitgebroken. Over het verloop van de epidemie is het volgende bekend:
- Wekelijks steekt 20% van de zieken een vatbare persoon aan.
- Van de zieken geneest wekelijks 30%, deze worden immuun.
- Immune personen blijven immuun.
De totale omvang van de populatie bedraagt 10.000 personen, gedurende de epidemie verandert dit aantal niet.
Op het tijdstip t=0 (t in weken) zijn er 9500 vatbare, 500 zieke en 0 immune personen.

Wel wordt de differentiaalberekening gegeven voor het aantal vatbare personen:

dV/dt = -ln 0,9 · (8500 - V) met t in weken

Nu moet ik aan de hand van deze informatie een differentiaalvergelijking maken voor het aantal immune personen I. Ik heb wel een formule bedacht, maar heb geen flauw idee of die klopt:

dI/dt = 0,3 · 500 · (0,9^t)

Ik weet niet hoe ik dit aan moet pakken en zou hier graag hulp bij hebben.

Michelle Mohlmann
20-3-2006

Antwoord

dag Michelle,

Noem V het aantal vatbare personen op tijdstip t.
Noem Z het aantal zieke personen op tijdstip t.
Noem I het aantal immune personen op tijdstip t.
Per week komen er 0.2·Z zieken bij, maar worden er 0.3·Z zieken beter, en immuun, dus geldt:
dZ/dt = -0.1·Z
dI/dt = 0.3·Z
Uit de bovenste vergelijking (en de beginvoorwaarde Z(0) = 500, kun je concluderen:
Z = 500·e^-0.1t
dus
dI/dt = 150·e^-0.1t

Anneke
24-3-2006