WisFaq!

Aantal p-dimensionale kubussen in een n-dimensionale kubus

Is het correct dat een n-dimensionale kubus juist

2^n-p*(n!)/(p!(n-p)!)

p-dimensionale kubussen bevat.

Zo ja, is hier een bewijs voor?

pepijn de petter
18-3-2006

Antwoord

Ja en ja.
Het bewijs laat zich illustreren aan een speciaal geval, zeg n=5 en p=3.
Voor elke keuze van 3 uit 5 coordinaten krijg je een 3-dimensionaal zijvlak met (0,0,0,0,0) als hoekpunt en het punt met een 1 op de gekozen coordinaten (en 0 elders) als het diagonaal tegenover liggende. Neem bijvoorbeeld het zijvlak bepaald door (0,0,0,0,0) en (1,1,1,0,0); dit kun je op 4=2^5-3 manieren opschuiven naar een parallel zijvlak: voor elke deelverzameling van de overgebleven coordinaten éénmaal, dus over (0,0,0,0,0), (0,0,0,0,1), (0,0,0,1,0), (0,0,0,1,1). Dit kunnen we doen voor elke keuze van 3 uit 5 en zo komen we tot 2^5-3 maal `5 boven 3' drie-dimensionale zijvlakken in de vijfdimensionale kubus.

kphart
23-3-2006