WisFaq!

Problemen!!!! Maar liefst 4

Opgave 1
Drie personen, meneer Aarts en de heer en mevrouw Bartels, maken een vliegreis. Iedere passagier mag een bepaald gewicht aan bagage meenemen; voor elke kilogram meer moet een vastgesteld bedrag extra worden betaald. De bagage van meneer Aarts weegt 43 kg; die van het echtpaar Bartels weegt ook 43 kg. Meneer Aarts moet, wegens overwicht, 50 gulden betalen; voor de bagage van meneer Bartels moet 6 gulden extra worden betaald en voor die van mevrouw Bartels 8 gulden. Hoe zwaar is de bagage van meneer Bartels?

Opgave 13
In een rij van 1990 reële getallen is elk getal - met uitzondering van het eerste en laatst - gelijk aan de som van zijn twee buren. De som van de eerste 16 getallen is gelijk aan 18 en de som van de laatste 20 is gelijk aan 24. Bepaal het eerste getal van deze rij.

Opgave 25
Van een rechthoekige driehoek is de lengte van de schuine zijde 25. De straal van zijn ingeschreven cirkel is 3.
Hoelang zijn de andere twee zijden?

Opgave 49
Oslo en Lerwick (Shetland Eilanden) liggen beide op 60 graden noorderbreedte. Oslo ligt op 11 graden oosterlengte en Lerwick op 1 graad westerlengte. Hoeveel kilometer is de afstand tussen deze plaatsen gemeten langs de breedtecirkel? (Omtrek aarde: 40000 kilometer)

Lukt het jullie wel om deze problemen op te lossen?? Mij lukt het namelijk echt niet!!

Alvast bedankt,
Lonneke

Lonneke
24-9-2002

Antwoord

(1) Dit kan je als een klassiek vraagstuk opgelossen:
A: massa bagage Mr.Aarts (in kg)
BM: massa bagage Mr.Bartels (in kg)
BV: massa bagage Mevr.Bartels (in kg)
L: limiet massa (in kg)
K: kost per eenheid massa 'te zwaar' (fl/kg)

A=43, BM+MV=43, A-L=50/K, BM-L=6/K, BV-L=8/K.
Hieruit vinden we eenvoudig A=43, BM=21, BV=22, L=18, K=2.

(2) Iets leuker: u_i+1=u_i-u_i-1. Beginnend met u₁ en u₂ schrijven we gemakkelijk de eerste 8 termen uit van de rij (...) en vinden dat u₇=u₁ en u₈=u₂... Bingo: we hebben een repeterende rij met periode 6:
u_k=u_{k(mod 6)}.
Bovendien vinden we dat de som van elke 6 opeenvolgende termen 0 is... De som van de eerste 16 is dus gelijk aan de som van de eerste 4, en dus: 2u₂-u₁=18.
De som van de termen 1970=6.328+6 tot 1990=6.328+26 is dus identiek aan de som van de termen 6 tot 26, is gelijk aan de som van de termen van 6 tot 8, en dus: 2u₁=24.
Uit dit laatste vinden we u₁=12... (bizar... som van eerste 16 elementen dient enkel om u₂ te bepalen en is dus niet nodig om u₁ te bepalen)... ergens misrekend misschien...

(3) We noemen de schuine zijde c en de rechtopstaande a en b. Het middelpunt van de ingeschreven cirkel noemen we m en de straal r. De driehoeken abm, bcm en cam vormen samen driehoek abc. Uit de oppervlaktes vinden we: (a+b+c)r=ab. Pythagoras geeft: c²=a²+b². Dus: a+b=ab/r-c en (a+b)²-2ab=c². Combineren geeft een vierkantsvergelijking in ab. Combineren met a+b=... geeft dan de uiteindelijke waarden voor a en b.

(4) We 'snijden' de aarde door op noorderbreedte 60. Dit geeft een cirkel met straal R.cos60° = R/2. Op deze cirkel liggen Oslo en Lerwick onder een hoek van (1+11)°. De cirkelboog meet R/2.12/180.p=667km

Leuke puzzels, uit een boekje of zo?

Groetjes,
Johan

Zie http://cage.rug.ac.be/~hvernaev/NWI.html [http://cage.rug.ac.be/~hvernaev/NWI.html]

andros
24-9-2002