WisFaq!

Restterm van Lagrange

Beste Wisfaq,
Boven aan pagina 3 van Dick Klingens's pdf wordt in een aantal stappen bewezen dat Lim(|Rn|)=0 voor n®¥. Een probleem is echter dat ik deze stappen niet geheel volg. Zouden jullie hier misschien enige duidelijkheid in kunnen verschaffen?
mvg

Rogier
16-3-2006

Antwoord

We nemen een vaste x. Bij iedere n bestaat een q tussen 0 en 1 (afhankelijk van n) zó dat R_n(x)=e^qxxⁿ⁺¹/(n+1)!. Als x=0 dan e^qx=1 en als x=0 dan e^qxe^x, dus we kunnen e^qx onafhankelijk van n afschatten met de vaste waarde M=max{1,e^x}. Daarmee volgt dus dat |R_n(x)|=M|x|ⁿ⁺¹/(n+1)!. Neem vervolgens een natuurlijk getal N dat groter is dan |x| en splits, voor n=N de teller en noemer van die afschatting in twee factoren: M|x|^N×|x|^n+1-N en N!×(N+1)×...×(n+1). Hiermee splits je de afschatting zelf, als volgt: eerste factor: M×(|x|^N/N!) (deze is vast, want N is vast) en tweede factor: (|x|/(N+1))×(|x|/(N+2))×...×(|x|/(n+1)). Dit kunnen we afschatten met (|x|/(N+1))^n+1-N. Alles bij elkaar hebben we |R_n(x)| afgeschat met een constante maal (|x|/(N+1))^n+1-N; de limiet van de laatste uitdrukking (voor n naar oneindig) is 0, dus lim R_n(x) is ook 0.

kphart
17-3-2006