WisFaq!

Nog twee problemen

Nog 2 probleempjes:

(1)De knooppunten Vierbergen en Achtenaar worden gescheiden door een rechte rivier die overal 700 meter breed is. De afstand van Vierbergen tot de rivier is 400 meter en de afstand van Achtenaar tot de rivier is 500 meter. Hemelsbreed is de afstand van Vierbergen to Achtenaar 2000 meter. Het rijk bouwt een brug over de rivier die de rivier recht oversteekt en verbindt beide knooppunten door middel van rechte wegen met de brug; het doet dat zo dat de afstand van Vierbergen naar Achtenaar over de brug zo klein mogelijk is. Wat is die afstand?

(2)Vier positieve, reële getallen a, b, c, d worden met elkaar vermenigvuldigd. Vijf van de zes mogelijke uitkomsten zijn 2, 3, 4, 5, 6. Wat is de zesde uitkomst?

ingrid lodewijks
24-9-2002

Antwoord

Hoi,

(1) kan je zien als optimisatieprobleem (afstand uitdrukken ifv x die positie van brug weergeeft, afgeleide berekenen enz). Je kan ook redeneren zoals in volgende schets (steden verschuiven over 700m naar elkaar toe; korste route = rechte lijn). Met Pythagoras en gelijkvormige driehoeken bereken je dan de afstand:




(2)
De producten (per twee) van a, b, c en d zijn ab, ac, ad, bc, bd en cd. Als we aannemen dat we cd niet kennen, dan kunnen de andere 5 producten paarsgewijs gecombineerd worden: (ab),(ac)(bd) en (ad)(bc). Het tweede en derde product zijn gelijk aan abcd. Als we concreet naar de getallen 2,3,4,5 en 6 kijken en de 10 mogelijke producten berekenen, dan zien we dat 2.6=12=3.4 en dat 12 het enige product is dat meer dan één keer voorkomt. Dit betekent dat abcd=12 en dat het niet-gebruikte getal 5=ab, zodat cd=12/5.

Leuke puzzels...

Groetjes,

Johan

andros
24-9-2002