WisFaq!

Minimale oppervlakte van verpakkingen

Ik moet voor een afgeknotte piramide weten bij welke afmetingen de totale oppervlakte minimaal is. Daarbij moet ik de hoogte van de pot met minimale oppervlakte uitdrukken in n. De afgeknotte piramide heeft geen deksel. n is het aantal hoeken in mijn geval 4 en ik weet dat de inhoud 1000 cm³ is en de hellingshoek van de zijvlakken 75° is.

jeroen metzemaekers
13-3-2006

Antwoord

dag Jeroen

Het is uit je vraag niet helemaal duidelijk of:

• de piramide regelmatig is
• de 'bodem' van de pot een kleiner vierkant is dan het 'deksel' (dat er dus niet is...)

...maar bij mijn antwoord ga ik wel van deze zaken uit.
Noem de zijde van de bodem z. Noem de zijde van het deksel x. Noem de hoogte van de niet-afgeknotte piramide hp. Noem de hoogte van de pot h.
Dan geldt:
tan(75°) = hp/(¹/₂x) = (hp-h)/(¹/₂z)
Verder weet je de inhoud van de pot. Deze is gelijk aan
¹/₃x²·hp - ¹/₃z²·(hp-h)
Met deze gelijkheden kun je x en z uitdrukken in h.

Vervolgens kun je de oppervlakte van een zijvlak (in de vorm van een trapezium) uitdrukken in x, z en h met behulp van cos(75°).
Deze uitdrukking kun je tenslotte minimaliseren naar h.
Lukt dat?

Anneke
14-3-2006