WisFaq!

Ongelijkheid bewijzen

Bewijs dat n!(n/2)^n voor alle n natuurlijk, groter dan 5.
Bedankt alvast!

Jero
11-3-2006

Antwoord

Bewijs met inductieve gedachtengang, je kan het misschien korter en strakker, maar zo kan je de redenering volgen die mij tot de oplossing heeft geleid.

Stel dat we een getal n hebben gevonden waarvoor de ongelijkheid geldt:

n! (n/2)^n [*]

Dan zou het leuk zijn als ik daaruit kon bewijzen dat de ongelijkheid voor de opvolger van n, dus n+1, ook geldt.

(n+1)! ((n+1)/2)^(n+1) [**]

In het gaan van [*] naar [**] wordt links vermenigvuldigd met (n+1), dus het gevraagde zou meteen volgen als rechts vermenigvuldigd wordt met iets dat steeds groter is dan (n+1). (Merk op dat als dat niet zo zou zijn, dat nog niet zou betekenen dat de stelling fout is).

Wel, rechts wordt vermenigvuldigd met

((n+1)/2)^(n+1) / (n/2)^n
= (n+1)/2 . ((n+1)/2)^n / (n/2)^n
= (n+1)/2 . ((n+1)/n)^n
= (n+1)/2 . (1+1/n)^n
(n+1)/2 . 2 (via de ongelijkheid van Bernoulli)

dus met iets dat steeds groter is dan n+1. Rest ons nog manueel op zoek te gaan naar een eerste waarde om het hele zootje in gang te steken, en dat blijkt n=6 te zijn. Vanaf n=6 geldt dus de gevraagde ongelijkheid.

Zie ook Faculteiten

cl
11-3-2006