WisFaq!

Taylorreeks

hoi Wisfaq

ik moet een PO maken voor wiskunde en daarbij moet ik bewijzen de reeksen:
cos(x)=1-x²/2!+x^4/x!-...
sin(x)=x-x³/3!+x^5/5!-...
e^x=1+x²/2!+x³/3!+...

wilt u mij aub helpen hiermee.
alvast bedankt

sahar

Sahar
8-3-2006

Antwoord

Waarschijnlijk hoef je NIET te bewijzen hoe je aan de formule van een Taylorreeks komt. die "KRIJG" je gewoon.

De formule voor een Taylorreeks is:

f(x) = f(0) + x.f'(0)/1! + x².f"(0)/2! + x³.f"'(0)/3! + ...

Eerst moet je even goed kijken naar wąt daar nou eigenlijk staat.
De f(x) is de functie die je wilt gaan benaderen, in jouw geval de e^x, de sin(x) of de cos(x).
En de hele riedel die in het rechterlid staat, is de Taylorbenadering van de functie. Om die uit te kunnen schrijven, moet je uitrekenen wat f(0) is, f'(0), f"(0), etc...

Laten we als voorbeeld nemen dat f(x)=sin(x)
De eerste term in het rechterlid luidt: "f(0)"
Omdat f(0)=0, vervalt de eerste term.

De tweede term in het rechterlid luidt: "x.f'(0)/1!"
Hier moet je uitrekenen wat f'(0) is. Wel, omdat f'(x)=cosx (de eerste afgeleide van sinx), is f'(0)=1.
Verder is de 1! gelijk aan 1.
Hieruit volgt dat "x.f'(0)/1!" = x.1/1 en dat is 'gewoon' x.

De derde term in het rechterlid luidt: "x².f"(0)/2!"
Hier moet je uitrekenen wat f"(0) is. Omdat f"(x)=-sinx (de tweede afgeleide van sinx), is f"(0)=0.
De 2! is gelijk aan 2.
Hieruit volgt dat "x².f"(0)/2!" = x.0/2 en dat is nul;

De vierde term in het rechterlid luidt: "x³.f"'(0)/3!"
Hier moet je uitrekenen wat f"'(0) is. f"'(x)=-cosx (de derde afgeleide van sinx), is f"'(0)=-1.
Verder is de 3! gelijk aan 3.2.1=6
Hieruit volgt dat "x³.f"'(0)/3!" = x³.-1/6 en dat is -x³/6

etc...

Zo krijg je:
sinx = x - x³/6 + x⁵/120 - ....

Groeten,
martijn

mg
8-3-2006