WisFaq!

Aantonen van een norm

Ik ben bezig met een opgave waarin ik aan moet tonen dat ||.|| een norm definieert. We moeten een ruimte beschouwen C⁰[-1,1] van continue functies van [-1,1] naar R, voorzien van de norm ||f||= $\int{}$|f(x)|dx. Hoe toon ik nu aan dat ||.|| een norm definieert?

Jaap van Veen
3-3-2006

Antwoord

Het gaat hem hier dus over een norm op een vectorruimte C[-1,1] over het veld ?

Je moet proberen aantonen dat:
1) De norm is steeds positief en de norm van een element nul is, als en slechts als het element zelf nul is (dus beide richtingen aantonen)

2) voor alle t in en f in C[-1,1] moet gelden ||t f|| = |t| ||f||

3) de driehoeksongelijkheid moet gelden.

Dat zijn drie dingen die vrij eenvoudig aan te tonen zijn door gebruik te maken van het feit dat de absolute waarden op als vectorruimte over zichzelf een norm is (en die dus aan bovenstaande eisen voldoet), door de lineariteit van de integraal, en door het feit dat het gaat over continue functies. Bij functies die niet continu zijn, maar wel rieman-integreerbaar, is voorwaarde 1 niet in beide richtingen voldaan (ga dat als oefening misschien eens na door een tegenvoorbeeld te vinden), in dat geval spreekt met dan van een "pseudo-norm".

Koen

km
6-3-2006