WisFaq!

Kruisende rechten

Gevraagd is:

Gegeven zijn de rechten a $\Leftrightarrow$ (2x-3)/2 = (y)/2 = (2z+1)/6
en b $\Leftrightarrow$ 3x=5 en 3x+3z+2=0

a. Ga na dat a en b kruisend zijn
b. Schrijf een stelsel parametervergelijkingen van de rechten a en b
c. Zoek een punt A op a en een punt B op b zodat AB evenwijdig is met c$\Leftrightarrow$ x=(y/6)=(z/2)

Ik dacht:

a. a$\Leftrightarrow$ 4x-6 = 2y $\Leftrightarrow$ 4x-2y = 6
4z+2 = 6y $\Leftrightarrow$ 4z-6y = 2

We onderzoeken de onderlinge ligging van a en b. Daarvoor lossen we volgend stelsel op:

4x-2y = 6
4z-6y = 2
3x = 5
3y+3z+2 = 0

Dit stelsel heeft geen oplossing, dus moeten we richtingsgetallen bepalen.
Hoe vindt ik hier de richtingsgetallen??

b. a $\Leftrightarrow$ 2x = 3 + (-2)r
y = -2r
2z = -1 + (-6)r

dus a $\Leftrightarrow$ x= 3/2 x + (-1)r
y= -2r
z= (-1/2) + (-3)r

dus dan is een stel richtingsgetallen van a (-1 ; -2 ; -3)

maar dan een parametervergelijking van b...

b $\Leftrightarrow$ 3x = 0
3y + 3z = 0

en dan??

c. ??

Graag een handje hulp, alvast bedankt!

Elke
1-3-2006

Antwoord

Beste Elke,

Het kruisen kan je inderdaad nagaan via dat (grote) stelsel, maar ik vind het gemakkelijker om eerst b op te lossen (parametervergelijkingen bepalen) en daaruit kruisen af te leiden. Als je de parametervergelijkingen hebt kan je snel zien of ze evenwijdig/samenvallend zijn (evenredige richtingsvectoren) en makkelijk zien of er snijpunten zijn of niet, indien niet moeten ze dus kruisen.

Voor a zijn je richtingsgetallen juist, je kan ter vereenvoudiging de mintekens nog laten vallen en om de parametervoorstelling compleet te maken moet er ook nog een punt zijn.
Voor b haal je uit de eerste vergelijking dat x = 5/3, dit geeft in de tweede vergelijking dat z = -7/3. Tenslotte kan y alles zijn, dat is je parameter.

De gegeven rechte heeft richting (1,6,2). Je kan bijvoorbeeld een vlak bepalen met die richting en die rechte a bevat, een tweede vlak dat rechte b bevat (met nog steeds die richting als tweede richtingsvector). Snijdt beide vlakken en je hebt de gevraagde rechte AB.

mvg,
Tom

td
1-3-2006