WisFaq!

Puntsgewijze en uniforme convergentie

Hallo wisfaq,

Laat {f_n} (n=1 tot oneindig) bevat zijn in C[a,b], en {f_n} is puntsgewijs convergent (voor iedere x in [a,b] is er een M_x =0 zodat |f_n(x)| = M_x voor alle n=0,1,2...)
Ik wil bewijzen dat er een subinterval bestaat van [a,b] waarop de f_n uniform begrensd zijn.
Ik moet dus bewijzen dat er een a=c,d=b bestaat en een M=0 zodat |f_n(x)|=M voor alle x in [c,d] en alle n=0,1,2,....
Ik heb geen idee hoe ik moet beginnen en hoe het bewijs zou moeten gaan.

Vriendelijke groeten,
Viky

viky
22-2-2006

Antwoord

Voor elk natuurlijk getal M maak je de verzameling A_M die bestaat uit alle x-en met de eigenschap dat |f_n(x)|=M voor alle n.
Merk op: 1) elke A_M is gesloten; en 2) de verenigingen van de A_M is het interval [a,b].
Pas nu de categoriestelling van Baire toe.

kphart
23-2-2006