WisFaq!

Extremumprobleem ingeschreven cirkel

Hallo Wisfaq,

Hier nog zo een probleem waar ik mee worstel. In een driehoek is een cirkel beschreven. De vraag is nu: Onder al de rechthoekige driehoeken met dezelfde omtrek ,welke is diegene waarvan de ingeschreven cirkel de grootste oppervlakte heeft. Ik ben vertrokken van x+y+z=P en x²+y²=z². Met z=P-x-y en kwadrateren bekom ik de oplosssing voor y , uitgedrukt in x
z²=(P-x-y)²=x²+y² waarvan de oplossing geeft,na wat rekenen(zoals in probleem van gisteren): y= (P²-2Px)/(2P-2x)
Nu zou ik toch de x,y en z moeten uitdrukken in de straal van de cirel R en daartoe kom ik niet... De straal van de cirkel staat loodrecht op de zijden van de driehoek in het raakpunt. Dat weten we wel, maar nu?

lemmens hendrik
18-2-2006

Antwoord

Dag Rik,

De uitwerking zover is al correct, je moet inderdaad enkel nog uitdrukken dat je met de ingeschreven cirkel werkt. En daarvoor komt één eigenschap daarvan wel heel mooi van pas, namelijk: de oppervlakte van de driehoek is Pr/2 met r de straal van de ingeschreven cirkel. Hoe zie je dat: verbind elk van de drie hoekpunten met het middelpunt van de cirkel. Zo ontstaan er binnen de grote driehoek, drie kleinere driehoeken. Telkens is de basis een zijde (x,y,z), en de hoogte is telkens de straal r. Dus de oppervlakte van de grote driehoek = de drie oppervlaktes van de kleinere driehoeken = xr/2 + yr/2 + zr/2 = Pr/2.

Allicht kan je dan weer verder, zodat je de functie pr² kan schrijven zodat die enkel van x afhankelijk is. Afleiden en je bent er weer (je moet nu een derdegraadsvergelijking oplossen, maar die is mooi te ontbinden). Al vrees ik dat je zal ontgoocheld zijn door de uitkomst :-)

Groeten,
Christophe.

Christophe
18-2-2006