WisFaq!

Loterij en geld

hallo! Ik zit superklem met deze vraag.

In een loterij zijn 50 loten verkocht. Er is één hoofdprijs van €100,-, drie 2e prijzen van €50,- en vier 3e prijzen van €25,-

Marit heeft 4 loten gekocht.
Bereken de kans dat
* ze geen 75 euro wint..
* minder dan 200 euro wint..
* precies 100 euro wint..

Een vraag als: 'Bereken de kans dat ze minder dan twee prijzen wint', dus 1 prijs of geen, dat kan ik wel maken maar ik zou echt niet weten hoe ik dit moet aanpakken. Dit soort opgaven krijg ik voor het eerst en ik zou niet kunnen bedenken hoe ik met die euro's kansen moet rekenen!
Please help :(

Yip
14-2-2006

Antwoord

Dit soort opgaven noem ik altijd 'prutsopgaven'. In boeken wordt meestal verteld dat er voor de meeste tel- en kansproblemen 'handige maniertjes' zijn, truukjes dus eigenlijk... Zo van 'met combinaties', faculteitsboom! of 'hypergeometrische verdeling!'. Nu is dat met veel opgaven ook wel zo... maar de 'kunst' zit 'm natuurlijk in het herkennen van de structuur van wat er gevraagd wordt.

In veel gevallen is helaas toch een kwestie van uitschrijven! Je doet dus gewoon wat je zou doen als je van die 'kunstjes' nooit gehoord had!

Voorbeeld
P(geen 75 euro)=?

Allereerst geen 75 euro? Misschien is het handiger om de kans uit te rekenen op 75 euro. P(geen 75 euro)=1-P(wel 75 euro). Als je voor P(wel 75 euro) niet direct een makkelijke manier ziet dan schrijf je de mogelijkheden maar 's op. Boom- of kansdiagrammen kunnen daarbij nog wel eens handig zijn!

Aantal manieren om 75 euro te winnen
In ieder geval niet de hoofdprijs winnen!
Verder kan je:
1. 1 van 50 en 1 van 25 en 2 loten met niks
2. 3 prijzen van 25 euro en 1 lot met niks

Omdat je in dit hoofdstuk de hypergeometrische verdeling geleerd hebt ligt het voor de hand dat je dit ook hier moet gebruiken. Dat is ook zo iets! Op je schoolexamen zal je dat toch zelf moeten kunnen bedenken, dus kijk nog maar 's goed wanneer je de geometrische verdeling kan gebruiken. Het gaat hier om een kansprobleem zonder terugleggen en de volgorde is niet van belang, dus daar gaat ie:

$
\begin{array}{l}
P(1\,\,van\,\,50,1\,\,van\,\,25\,\,en\,\,2\,\,met\,\,niks) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
1 \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
4 \\
1 \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
{42} \\
2 \\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{50} \\
4 \\
\end{array}} \right)}} \approx ... \\
P(3\,\,van\,\,25\,\,en\,\,1\,\,niks) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
4 \\
3 \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
{42} \\
1 \\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{50} \\
4 \\
\end{array}} \right)}} \approx ... \\
\end{array}
$

...en dan optellen voor de kans op 75 euro... en dan.... enz....

Minder dan 200
Misschien is 1-P(200 of meer) ook hier handiger...
1. hoofdprijs, 2 keer 50 en nog een lot met 'maakt niet uit'
2. hoofdprijs, 1 keer 50, 2 keer 25
En dan houdt het wel op... en dan verder als boven.

Precies 100
1. hoofdprijs en 3 keer niks
2. 2 keer 50 en 2 keer niks
3. 1 keer 50, 2 keer 25 en 1 keer niks
4. 4 keer 25
En dan als boven...

't Is een heel verhaal geworden, maar wat denk je? Zou 't zo lukken?

WvR
14-2-2006