WisFaq!

Re: Reeks voor inhoud bol

Bedankt voor uw reactie. Ik heb alles vandaag nog eens nagerekend en heb gemerkt dat ik ergens een fout had gemaat.
Ik kom er echter nog steeds niet helemaal uit, daarom zal ik even vertellen hoever ik nu ben en waar ik vast zit.
Het gaat erom dat de inhoud van een bol 2/3 deel is van de inhoud van de omhullende cilinder.
Dit is ook aan te tonen.
Inhoud bol: 4/3$\pi$r³
Inhoud cilinder: $\pi$r²·h
De vergelijking:
4/3$\pi$r³=2/3$\pi$r²·h

h is te schrijven als 2r
dit wordt:
2/3$\pi$r²·h=2/3$\pi$r²·2r = 2·2/3$\pi$r³= 4/3$\pi$r³
Het klopt dus iig dat de inhoud 2/3 is van de cilinder. Nou wil ik door middel van uitputting dit gaan aantonen. Er zal dus een formule uit moeten komen met $\pi$·r³ en daarvoor een factor uitgedrukt in n die bij een zeer grote n naar 4/3 gaat.
Ik heb de bol eerst ingedeeld in een aantal cilinders. Eerst als voorbeeld met n=10
Inhoud van 1 zo'n cilinder is $\pi$r²·h
hierin h = r/¹/₂n
Formule wordt dan: $\pi$r²·r/¹/₂n
De straal van bovenste cilinder is door middel van een driehoek te construeren zo te schrijven:
r_cilinder= √r²-(4/5r)² = √r²-16/25r² = √9/25r²
Dit doe ik voor de daarop volgende cilinders ook. De middneste heeft een straal die precies gelijk is aan de straal van de bol.
Van alle cilinders zijn 2 aanwezig dus moeten ze gekwadrateerd worden.
Het wortelteken valt dan dus weg.
Uiteindelijk na invullen komt dit eruit:
$\pi$·(r²+24/25r²+21/25r²+14/25r²+9/25r²)·r/¹/₂n
Hier is de factor r² buiten de haakjes te halen. Volgt:
$\pi$·r²(1+24/25+21/25+14/25+9/25)·r/5
De inhoud van de bol is nu vrij simpel te berekenen.
Mijn probleem is nu om hier een algemene formule van te maken. De radius zal dan dus uitgedrukt moeten worden bij n cilinders. De middelste cilinder is dan nog steeds r=r
Maar het lukt mij niet om voor de andere cilinders een algemen formule te schrijven. Als ik deze namelijk weet kan ik denk ik wel weer verder.
Alvast heel erg bedankt voor uw hulp.
Groet,

Harry
10-2-2006

Antwoord

Eerst een aantal opmerkingen:

De wortel valt niet weg omdat je verdubbeld maar omdat je kwadrateert om de oppervlakte van het grondvlak van de cylindertjes te krijgen.

In je opsomming komt ergens 14/25r² voor, dit moet 16/25r² zijn.

Als je de reeks: 1+24/25+21/25+16/25+9/25 schrijft als
1+(1-1/25)+(1-4/25)+(1-9/25)+(1-16/25) dan krijg je
5·1-(1/25+4/25+9/25+16/25)=5-1/25·(1+4+9+16)=5-1/25·(1²+2²+3²+4²)
Het was dus misschien wel aardig om b.v. √(r²-4/25r²) te schijven als √(21/25r²) maar het is handiger om dit niet te doen, immers:
dan zie je ook hier weer de somreeks voor de eerste n kwadraten terug die je ook kunt zien in: Benadering van de inhoud van een kegel met uitputting .
Iets dergelijks kun je ook doen bij n cylindertjes!

hk
12-2-2006