WisFaq!

Rationale getallen

Hoi,

Ik moet bewijzen dat het getal Ö3 geen element is van de verzameling a+bÖ2, met a,b in (Q)! En ³Ö2 wel een element is!

Kun je mij helpen??

Groetjes

Elize
10-2-2006

Antwoord

Je kunt beide doen door een vergelijking op te stellen en te laten zien dat die een (of geen) oplossing heeft.
1. Stel Ö3=a+bÖ2 en kwadrateer: 3=a²+2b²+2abÖ2. Je krijgt dan (a²+2b²-3)+2abÖ2=0; omdat Ö2 niet in Q zit moet gelden dat a²+2b²=3 en ab=0. Beide gevallen -- a=0 en 2b²=3 of b=0 en a²=3 -- leveren geen oplossing, dus zijn er geen a en b in Q te vinden met Ö3=a+bÖ2.
2. ³Ö2 zit ook niet in de verzameling(!). Op dezelfde manier als boven vind je, na derde macht nemen, 2=a³+6ab²+(3a²b+2b³)Ö2 (netjes uitwerken). Weer als boven volgt 3a²b+2b³=0 en a³+6ab²=2 en weer volgt dat er geen oplossing is.

kphart
14-2-2006