WisFaq!

Eigenwaarden en Eigenvectoren

Hallo,

Ik blijf problemen ondervinden bij het vinden van de eigenwaarde en de eigenvector van matrices.
Bij een 2x2 matrix is het geen probleem om de eigenwaardes te vinden.
Bijvoorbeeld bij de matrix
|10 -4 |
|18 -12|
Bij deze is de eigenwaarde te bepalen door
(10-l)(-12-l)+18*-4 op te lossen.
Bij een 3x3 matrix loop ik echter vast.
In mijn boek staat dit voorbeeld:
|-2 2 -3|
| 2 1 -6|
|-1 -2 0|
En vanaf daar gaan ze gelijk naar
-l³-l²+21l+45=0
De stap die hier overgeslagen wordt is nou net de stap
die ik niet begrijp.
En op welke manier wordt bij een eigenwaarde een eigenvector
gevonden?

Bijvoorbaat dank!

Joost
3-2-2006

Antwoord

Beste Joost,

De stap die ze overslaan heeft eigenlijk niets met eigenwaarden te maken, dat is gewoon het uitrekenen van een determinant. Dit kan door gebruik te maken van eigenschappen, door te ontwikkelen naar een rij of kolom (zie Determinant uitschrijven?) of voor een 3x3 met de regel van Sarrus (zie Hoe bereken je de determinant van een matrix?).

Het voordeel van eerst eigenschappen van determinanten te gebruiken in plaats van direct te ontwikkelen of Sarrus te gebruiken is dat je determinant dan vaak al in ontbonden vorm uitgewerkt wordt, terwijl je zoals het nu gegeven is die derdegraadsvergelijking nog moet oplossen.

De formule om de eigenvectoren te bepalen vind je bij Algemene Lesliematrix eigenvector en eigenwaarde maar misschien dat een uitgewerkt voorbeeld je meer helpt, neem in dat geval een kijkje op Diagonaliseren matrices of Eigenvectoren.

mvg,
Tom

td
3-2-2006