WisFaq!

Banach en Hilbertruimtes

Voor mijn herkansing voor het vak Fouriertheorie was ik op zoek naar antwoorden op de volgende vragen, afkomstig van een vorig tentamen.

a) Geef een voorbeeld van een Banachruimte E die geen Hilbertruimte is
b) Geef een voorbeeld van een Hilbertruimte van oneindige dimensie

Antwoorden die ik zelf had gevonden/bedacht:
a) Laat B(X) zijn de verzameling van begrensde complexe functies op X. Deze ruimte is lineair en definieer een norm dmv: ||f||_inf=sup_{x in X}|f(x)|. B(X) vormt hiermee een Banachruimte. De norm wordt niet door het inproduct gevormd en is daardoor geen Hilbertruimte.

b) Definieer l² als de verzameling van alle vectoren x = (x₁,x₁,...) met x_i in waarvoor SOM_i=1^inf |x_i|²inf. De norm wordt gevormd mbv ||x||₂ = Ö (SOM_i=1^inf |x_i|²)

Klopt dit een beetje? Bij voorbaat dank!

Stephan Peters
29-1-2006

Antwoord

Je voorbeelden zijn goed maar, kun je alle claims ook bewijzen?
Waarom komt de norm bij a) niet van een IP af?
Wat is het IP op de ruimte van b) en hoe weet je dat deze volledig is?

kphart
30-1-2006