WisFaq!

Partiële som berekenen

Halverwege mijn dictaat gaat het over differentiëren van reeksen oa en ze beginnen met een voorbeeld te geven:

f_n(x)=x^n-1(1-x)(n²x-(n-1)²), met n1. Ze zeggen dan direct dat de partiële sommen:
s_n(x)=n²xⁿ(1-x)

Maar hoe berekenen ze dat, en hoe doen ze dat eigenlijk in het algemeen?

Dank je!

Robert
28-1-2006

Antwoord

Ik schrijf alles met een i, omdat we later sommeren voor i van 1 tot n, je kan dus beter, als n een waarde is tot waar je sommeert, beter niet alles met een n schrijven, want dan maak je notatiefouten)

Je schrijft eerst f_i(x) als
(1-x)( i²xⁱ - (i-1)²x^i-1)

definieer nu g_i(x) = i²xⁱ Dan staat er:

f_i(x)=(1-x)[ g_i(x)-g_i-1(x) ]

doe nu de som voor i van 1 tot n van f_i(x)

s_n(x)=(1-x)
[ (g₁(x)-g₀(x))
+ (g₂(x)-g₁(x))
+...
+ (g_n-1(x)-g_n-2(x)
+ (g_n(x)-g_n-1(x) ]

Wat zie je? Alle termen vallen tegen elkaar weg, enkel (1-x)[g_n(x)-g₀(x)] blijft over. Je kijkt naar hoe je die gedefinieerd hebt, en je zien dat het gelijk is aan
(1-x) [n²xⁿ- 0 ]
=(1-x)n²xⁿ Voila

Succes!!

Koen

km
29-1-2006