WisFaq!

Bewijs deelbaarheid polynomen

Ik had vandaag twee grote vragen in mij opborrelen met een tentamen volgende week op de loer, en de tweede is:

Ik moet bewijzen dat x-1 | xⁿ-1
en (x²-1) | x²ⁿ-1

Ik ben begonnen met volledige inductie, en ik denk dat ik volkomen begrijp waarom het altijd deelbaar is, maar ik mis de laatste stap in mijn bewijs.
Help gewild. Alvast bedankt.

Melchior
28-1-2006

Antwoord

Goeie morgen,

Er zijn een aantal mogelijkheden om dit te bewijzen.

Eerst en vooral wil ik inpikken op je poging door volledige inductie. Ik weet niet hoe je begonnen bent...maar ik deed het zo:

voor n=1 is het triviaal, dit is onze startstap.
Bij de inductiehypothese stel ik dat het geldt voor n-1, dus we nemen aan dat x^n-1-1 deelbaar is door x-1
Je begint een euclidische deling van xⁿ-1 gedeeld door x-1
Na de eerste stap heb je nog een "rest" over die gelijk is aan x^n-1-1 en het voorlopige "quotiënt" na de eerste stap is x^n-1 Je kan dus schrijven: xⁿ-1 = (x-1)x^n-1 + x^n-1-1

(je kan door opnieuw vermenigvuldigen checken dat het klopt)

Nu willen we dat het linkerlid deelbaar is door x-1, we zullen aantonen dat het rechterlid dat is, dus dan is het bewezen.
De eerste term heeft een factor (x-1) dus is ie er zeker door deelbaar. De tweede term is deelbaar door x-1 door onze inductiehypothese. Dus het is klaar.

MAAR!!! ware het niet dat dit omslachtig is en er veel kortere manieren bestaan... Er bestaat zoiets als de factorstelling die zegt dat een polynoom dat a als nulpunt heeft, een factor (x-a) heeft.

xⁿ-1 heeft 1 als nulpunt, dus zit er ergens een factor (x-1) in.
Je kan dus altijd xⁿ-1 schrijven als (x-1)*P(x^n-1). En dat is deelbaar door x-1. (ik bedoel met P(x^n-1) een polynoom van graad n-1)

Nog een andere manier is de som van de meetkundige rijen:
Je kan gemakkelijk (door de noemer naar het ander lid te brengen en uit te rekenen) aantonen dat:
1+x+x²+....x^n-1=(xⁿ-1)/(x-1) (en dat is net die P(x^n-1) waar ik het daarnet over had)

Dus je hebt een aantal manieren om die te bewijzen. Je ziet dat ik nergens het tweede voorbeeld behandeld heb. Dat gaat met alle drie de methodes op dezelfde manier.

Succes,

Koen

km
29-1-2006