WisFaq!

Convergentiestraal met D`Alembert

Ik moet bij een opgave de convergentiestraal bepalen. Tot nu toe gaf dat niet zo veel problemen, ik gebruikte de methode van D'Alembert en vind de convergentiestraal dan meestal wel. Bij dit vraagstuk komt het niet helemaal mooi uit. Ik gebruik dus de absolute waarde van n+1/n

Bepaal de convergentiestraal R van de machtreeks
$\sum$van n=3 tot oneindig | (-1)ⁿ·x²ⁿ/n(7ⁿ+9ⁿ)

Uiteindelijk gebruik ik |x-a|$<$R
De a is in dit geval volgens mij 0 en ik zou dan op een straal uitkomen van 4. Dit is alleen niet het goede antwoord.
Moet ik ook nog specifiek iets doen met het gegeven dat de som bij n=3 begint?
Ik vind het maar moeilijk die rijen

Rens van Lier
22-1-2006

Antwoord

Pas D'Alembert rechtstreeks toe: deel de n+1-ste term door de n-de term, je krijgt |x²ⁿ⁺²/((n+1)(7ⁿ⁺¹+9ⁿ⁺¹))| gedeeld door |x²ⁿ/(n(7ⁿ+9ⁿ))|.
Werk dat uit: x²·n/(n+1)·(7ⁿ+9ⁿ)/(7ⁿ⁺¹+9ⁿ⁺¹); nu de limiet nemen, je krijgt x²/9. Dat moet kleiner zijn dan 1, en dat betekent dat |x|$<$3. De convergentiestraal is dus 3.
Het gegeven dat deze reeks pas bij n=3 begint is voor convergentie niet belangrijk; het is wel belangrijk bij het eventuele uitrekenen van de som.

kphart
27-1-2006