WisFaq!

DV met beginvoorwaarde

Hallo,
Ik heb een vraag en die gaat als volgt:

dy/dx cos x + y sin x = e^x * cos^2(x)

Echter ik begin deze nu uit te rekenen van de homogene DV en hier loop ik al vast ik krijg namelijk op een gegeven moment in de berekening de volgende vergelijking:

ò(1/-y)dy=ò(sin(x)/cos(x))dx

Ik heb deze proberen uit te rekenenen en kreeg toen het volgende antwoord:
-ln|y| = sinx*ln|tan(x/2+p/4)|-x
Ik denk dus dat dit verkeerd is omdat ik die -x niet met een ln teken heb, en ik hem dus niet tegen een e kan laten wegvallen p het moment dat de ln dat wel doet, en dat ik daardoor dus niet uit kan komen op de homogene uitkomst.
Ik denk zelf dat de vergelijking van de integraal al niet goed is, maar ik kom er wel elke keer op uit, waar gaat het bij mij mis, en wat is de homogene oplossing?
Alvast heel erg bedankt!!
MVG Pieter

Pieter Mooren
21-1-2006

Antwoord

Beste Pieter,

De homogene oplossing lijkt me toch niet zo moeilijk, we hebben:

dy/dx cos(x) + y sin(x) = 0
dy/dx cos(x) = - y sin(x)
dy/y = -sin(x)/cos(x) dx

Dit laatste vond je ook, als ik het goed begrijp. In het linkerlid vinden we ln|y| maar het rechterlid kan volgens mij eenvoudiger dan wat jij hebt. Laat t = cos(x) Û dt = -sin(x)dx en je krijgt ln|t| = ln|cos(x)|. Dus:

ln|y| = ln|cos(x)| + C Û y_h = c*cos(x)

Zo simpel is het, de oplossing van de homogene vergelijking

mvg,
Tom

td
21-1-2006