WisFaq!

Opstellen lijn met 3 raakpunten in andere lijn

De grafiek f(x)=x⁴-4x³+4x² en de lijn y=mx hebben precies 3 punten gemeenschappelijk. Hoe bereken ik m?

Michael
19-1-2006

Antwoord

In bovenstaand plaatje is de grafiek van f getekend.
Bovendien zijn een aantal exemplaren van de lijnenbundel y=mx getekend.
In rood staan getekend lijnen die 2 of 4 punten met de grafiek van f gemeen hebben.
De groene lijn raakt de grafiek van f ergens tussen x=0.5 en x=1.
Deze lijn heeft 3 punten met de grafiek van f gemeen.
Dit is een raaklijn aan de grafiek van f die door de oorsprong gaat.
De x-coordinaat van dat raakpunt kun je berekenen door de vergelijking
f '(x)=f(x)/x op te lossen.
Je krijgt dan:
4x³-12x²+8x=x³-4x²+4x.
Oplossen levert: x=0, x=2 of x=2/3.
De x-coordinaat van het raakpunt is dus: 2/3.
Er geldt dan: m=f(2/3)/(2/3)=32/27

hk
19-1-2006