WisFaq!

Stellingen absolute waarde bewijzen

Het is zeker geen hogere wiskunde, maar hoe bewijst men de 3 stellingen i.v.m. absolute waarde:
- "a,bÎ:
1) |ab|=|a||b|
2) |a+b||a|+|b|
3) ||a|-|b|||a-b|
Ik heb al een poging ondernomen door gebruik te maken van kwadraten, maar ik wil zeker zijn hoe men dit juist kan bewijzen...
en
- Een deelverzameling AÌ is begrensd $ M0:"xÎA:|x|MÛ

Koen2704
18-1-2006

Antwoord

1)Het linkerlid kan enkel ab of -ab aannemen. Het rechterlid kan enkel ab, -ab, a*(-b) of -a*(-b) aannemen, wat dus overeenkomt met ab of -ab. Maar beide leden zijn positief. Dus vervalt ofwel de mogelijkheid ab, ofwel de mogelijkheid -ab aan elke kant. Dus de gelijkheid blijft over.

2) Je weet dat a|a| en -a|a| (hetzelfde voor b)
Dus geldt (door optelling van linker en rechter leden)
a+b|a|+|b| en -a-b|a|+|b|

Dus geldt

|a+b||a|+|b|

3) Hint: Pas de ongelijkheid 2 toe, een keer op |(a-b) + b| en een keer op |(b-a) + a| ...

Enneuh.... Als een deelverzameling A van begrensd is, is ze van onder begrensd, dus er bestaat een q₁ in zodat voor alle a in A q₁a,
maar ook van boven begrensd, dus er bestaat een q₂ zodat voor alle a in A geldt aq₂ Neem q:=max(|q₁|,|q₂|), probeer nu aan te tonen dat voor alle a in A geldt dan |a|q

Succes,

Koen

km
19-1-2006