WisFaq!

Wat is het verband tussen Projectieve Meetkunde en Dualiteit?

Ik doe een PO over dualiteit, en mijn leraar zei dat ik op Projectieve Meetkunde kon zoeken. Aangezien google alleen lastig verwoorde uitleg geeft vraag ik het aan jullie: weet iemand toevallig het verband tussen projectieve meetkunde en dualiteit?

Olgun
16-1-2006

Antwoord

Beste Olgun,

Grof gezegd komt het verband tussen projectieve meetkunde en dualiteit er op neer dat in projectieve meetkunde "punt-lijn-dualiteit" heerst. In de projectieve meetkunde kun je "punt" en "lijn" verwisselen. Je moet dan wel een beetje soepel omgaan met woorden als "liggen op" en "snijden". Simpel voorbeeld:

Twee lijnen snijden elkaar in een punt -- twee lijnen bepalen één punt
Twee punten worden verbonden door een lijn -- twee punten bepalen één lijn

Een beroemd voorbeeld is de Stelling van Desargues. Deze stelling is "zelfduaal", oftewel als je de duale versie neemt, dan krijg je de stelling zelf weer. Drie collineaire punten, dus met een gezamenlijke (verbindings)lijn worden duaal namelijk drie concurrente lijnen, dus met een gezamenlijk (snij)punt.

Van mijn eigen speeltje, de Stelling van de Kruisingsdriehoek, kun je ook een duale versie maken. Misschien een aardig idee voor je PO.

Veel plezier kun je ook hebben van het werkblad over dit onderwerp van Dick Klingens.

FvL
17-1-2006